sabato 29 ottobre 2011

84. Radici

Il calcolo della radice quadrata di un numero e’ abbastanza laborioso.
Può comunque essere effettuato semplicemente, senza l’utilizzo di una calcolatrice, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della radice di 1+x :


Ad esempio la radice di 2 può essere calcolata nei pochi seguenti passaggi.

Per prima cosa si moltiplica la radice per 10


cioè il radicando viene moltiplicato per 100.

Il passaggio successivo consiste nel dividere e moltiplicare per un numero intero il cui quadrato differisca di poco da 200 (in questo caso 14 con quadrato 196).


ora utilizzando i primi 2 termini dello sviluppo in serie

infine moltiplicando per 14 e dividendo per 10 si ottiene


che non differisce molto dal valore reale di  


L’errore commesso e’ o(x), cioè un infinitesimo di ordine superiore al primo grado, e questo consente sempre una buona approssimazione.

Per la  "radice quadrata di 3  =  1,732050... "     si ha:



Analogamente per valori di  n  da 2 a 11 si può calcolare:

n
sqrt reale
100 n
  k
    k2
1 + x
1 + x/2
sqrt
2
1,41421356
200
14
196
1,0204
1,0102
1,41428
3
1,73205081
300
17
289
1,04
1,02
1,734
4
2
5
2,23606798
500
22
484
1,033
1,016
2,2352
6
2,44948974
600
24
576
1,04
1,02
2,448
7
2,64575131
700
26
676
1,04
1,02
2,652
8
2,82842712
800
28
784
1,0204
1,0102
2,82856
9
3
10
3,16227766
1000
31
961
1,04
1,02
3,162
11
3,31662479
1100
33
1089
1,01
1,005
3,3165


Con un po’ di allenamento questi conti possono tranquillamente essere fatti a mente.
Le radici cubiche possono essere calcolate in modo analogo sostituendo  100  con 1000  e  ½  con  1/3.

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