90. Ottantanove bis

L’ennesimo numero di Fibonacci  F_n  è calcolato in modo ricorsivo come somma dei precedenti due (es. 34 + 55 = 89), ma esiste un modo sconcertante per ricavarlo direttamente tramite la forma chiusa seguente (formula di Binet):

dove la seconda uguaglianza si ottiene ricordando la definizione del numero aureo f  vista nel precedente post  e la notevole relazione:  

 1/f = f - 1 .

La formula può essere verificata in modo induttivo, ma rimane comunque sorprendente che la combinazione di potenze di numeri irrazionali possa dare un numero intero per qualsiasi valore di n.

89  e’ l’undicesimo numero di Fibonacci (trascurando la zero).

Applicando la formula precedente ponendo n = 11 si ottiene:

Probabilmente questa relazione non ha scopi pratici, ma da un punto di vista teorico può essere utilizzata per dimostrare come il rapporto tra 2 numeri di Fibonacci consecutivi tenda al numero aureo f al crescere di n.

Wikipedia fornisce ottimi approfondimenti riguardanti Sezione Aurea e Successione di Fibonacci.

Nel sito Matematicamente la formula di Binet è dimostrata mediante l’utilizzo delle matrici.

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html
http://mathworld.wolfram.com/ReciprocalFibonacciConstant.html

Mario Livio, La Sezione Aurea, Bur, 2003

 

Abstract - Fibonacci, the Golden Ratio and the number 89