martedì 11 marzo 2014

143. Curvatura e Gravitazione

Questo post cercherà di chiarire la relazione tra gravitazione e curvatura nell’ambito della Relatività Generale, senza fare riferimento esplicito alle formule di questa teoria, ma considerando solo le traiettorie dei vari oggetti e alcune semplici calcoli geometrici.

Niente sembra più affascinante di una tale relazione e anche Riemann, che il 10 giugno 1854 (all’età di 28 anni), riuscì a fornire l’apparato matematico necessario,  malgrado gli sforzi, non trovò una soluzione a quanto cercava, e la ragione principale è che Riemann cercava una relazione con la curvatura dello spazio e non dello spazio-tempo.

Per questo passaggio si dovette aspettare mezzo secolo.

D’altro canto se si confrontano le traiettorie di diversi oggetti (come fatto da Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler nel Gravitation) si fa fatica a trovare una semplice legge fisica basata sulla curvatura.
 
Nell’esempio si mettono a confronto le traiettorie di una palla che raggiunge l’altezza di 5 metri e ritorna a terra dopo 10 metri, con quella di una pallottola che si alza per solo mezzo millimetro (5 x 10-4 metri) e ha la stessa gittata di 10 metri.


 
Ovviamente nell’ordinario spazio tridimensionale, le curvature delle traiettorie sono molto differenti.

Per eseguire il calcolo nello spazio-tempo si deve prima di tutto considerare che lo spazio percorso è proporzionale alla velocità, mentre la proiezione della “distanza percorsa” dall’oggetto sull’asse temporale è pari a ct, cioè 300.000 km per ogni secondo trascorso. In pratica si puo generalizzare dicendo che:

lo spazio percorso è proporzionale alla quadri-velocità [ vx, vy, vz, c ]

Nel nostro caso la palla per arrivare al punto finale impiega 2 secondi, mentre la pallottola 1/50 di secondo.
Quindi la “distanza” percorsa nello spazio-tempo, che chiameremo gittata, è rispettivamente 600.000km e 6.000km (si possono trascurare i 10 metri della componente spaziale).
 

 
Il tutto è semplificato dal fatto che la componente temporale è enormemente dilatata rispetto alle 3 dello spazio ordinario.

Approssimando le traiettorie con archi di circonferenza e utilizzando il teorema di Pitagora si ha:

(raggio di curvatura)2 =  [(raggio di curvatura) – (altezza)]2 + (gittata/2)2

sostituendo il raggio di curvatura con R e l’altezza con h:

R2 =  ( R    h )2 + (gittata/2)2

e trascurando h2:
R  =  (gittata)2 / 8h

infine sostituendo i valori nei 2 casi:

R  =  ( c x 2 )2 / ( 8 x 5 )  =  c2  x  0,1 = 9 x 1015 metri                   (palla)

R  =  ( c x 0,02 )2 / ( 8 x 0,0005 ) =  c2  x  0,1 = 9 x 1015 metri   (pallottola)
 

Questa distanza è poco meno di quella percorsa dalla luce in un anno (a.l.):

299.792.458 m/s  x  365,25 g  x  86.400 s/g    9,461 x 1015 metri

Se si paragona il valore del raggio di curvatura ottenuto con il raggio della Terra all’equatore 6.378.388 metri, si capisce come sia realmente piccolo il valore della curvatura e questo potrebbe anche essere direttamente calcolato mediante la soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto.

La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura: circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore e viceversa.

La curvatura della circonferenza è definita come il reciproco del suo raggio R:

k = 1/R

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla.

Per la superficie terrestre si ha:                k = 1,57 x 10-7  m-1 

mentre per palla e pallottola:                    k = 1,11 x 10-16  m-1

E’ comunque importante sottolineare come la curvatura delle traiettorie (geodetiche) dei vari corpi si discosti di una quantità infinitesima dalla linea retta.

 
Abstract - Curvature and Gravitation


http://digilander.libero.it/roberto20129/matematica/riemann.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/09/17/17-settembre-1826-buon-compleanno-bernhard/
http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/07/71-superfici-rigate.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/09/80-relazione-massa-energia_27.html

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